6、梯形

（1）梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

（2）梯形的判定

①定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

②一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（3）等腰梯形的性质

①等腰梯形的两腰相等，两底平行。

②等腰梯形的对角线相等。

③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

（4）等腰梯形的判定

①定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

圆

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

2、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）。

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD），直径等于半径的2倍。

（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。

3、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。

4、圆的对称性

（1）圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

（2）圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

5、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

（1）圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

（2）弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

6、圆周角定理及其推论

（1）圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

7、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d<r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。

8、过三点的圆

（1）过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。    

（3）三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

（4）圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）

圆内接四边形对角互补。

9、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

10、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点。

相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线。

相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r。

11、切线的判定和性质

（1）切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

12、三角形的内切圆

（1）三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

13、圆和圆的位置关系

（1）圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。

如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

（2）圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

（3）圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

两圆外离d>R+r；

两圆外切d=R+r；

两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）；

两圆内切d=R-r（R>r）；

两圆内含d<R-r（R>r）。

（4）两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。